Question

6．已知关于x的一元二次方程（m-1）x²-（2m+2）x+m+4=0有两个不相等的实数根，
（1）求实数m的取值范围；
（2）若两实数根的倒数和为S，直接写出S的范围．

Answer 1

分析 （1）首先利用根的判别式大于0，且m-1≠0，求得m的取值范围；
（2）设方程的两个根式a b，由根与系数的关系得a+b=$\frac{2m+2}{m-1}$，ab=$\frac{m+4}{m-1}$，代入S=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$，求出即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程（m-1）x²-（2m+2）x+m+4=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（2m+2）²-4×（m-1）（m+4）=-4m+20＞0，m-1≠0，
解得：m＜5，m≠1；
（2）∵设方程的两个根是a b，
∴a+b=$\frac{2m+2}{m-1}$，ab=$\frac{m+4}{m-1}$，
∴S=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{2m+2}{m+4}$，
∵m＜5，
∴S＜$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了根与系数的关系和根的判别式，注意：如果m n是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则m+n=-$\frac{b}{a}$，mn=$\frac{c}{a}$．