Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，AB＝OB＝8，∠ABO＝90°，∠yOC＝45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当x＝3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；

（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在△POB的面积S＝8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2；（2）y＝﹣x2+x；（3）点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）时，△POB的面积S＝8．

【解析】

（1）判断出△ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB＝45°，然后求出AO⊥CO，再根据平移的性质可得AO⊥C′O′，从而判断出△OO′G是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；

（2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标，然后设抛物线解析式为y＝ax2+bx，再把点B、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；

（3）设点P到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式求出h，再分点P在x轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．

（1）∵AB＝OB，∠ABO＝90°，

∴△ABO是等腰直角三角形，

∴∠AOB＝45°，

∵∠yOC＝45°，

∴∠AOC＝（90°﹣45°）+45°＝90°，

∴AO⊥CO，

∵C′O′是CO平移得到，

∴AO⊥C′O′，

∴△OO′G是等腰直角三角形，

∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，

∴OO′＝2x，

∴其以OO′为底边的高为x，

∴y＝×（2x）x＝x2；

（2）当x＝3秒时，OO′＝2×3＝6，

∵×6＝3，

∴点G的坐标为（3，3），

设抛物线解析式为y＝ax2+bx，

则，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝；

（3）设点P到x轴的距离为h，

则S△POB＝×8h＝8，

解得h＝2，

当点P在x轴上方时，＝2，

整理得，x2﹣8x+10＝0，

解得x1＝4﹣，x2＝4+，

此时，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）；

当点P在x轴下方时，＝﹣2，

整理得，x2﹣8x﹣10＝0，

解得x1＝4﹣，x2＝4+，

此时，点P的坐标为（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2），

综上所述，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）时，△POB的面积S＝8．