题目内容

【题目】如图,直线yx+2x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过AB两点,与x轴的另一个交点为 C

1)求抛物线的解析式;

2)根据图象,直接写出满足x+2≥﹣x2+bx+cx的取值范围;

3)设点D为该抛物线上的一点、连结AD,若∠DAC=∠CBO,求点D的坐标.

【答案】1;(2)当x0x≤﹣4;(3D 点坐标为(02)或(2,﹣3).

【解析】

1)由直线yx+2求得AB的坐标,然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式;

2)观察图象,找出直线在抛物线上方的x的取值范围;

3)如图,过D点作x轴的垂线,交x轴于点E,先求出CO1AO4,再由∠DAC=∠CBO,得出tanDACtanCBO,从而有,,最后分类讨论确定点D的坐标.

解:(1)由yx+2可得:

x0时,y2;当y0时,x=﹣4

A(﹣40),B02),

AB的坐标代入y=﹣x2+bx+c得: ,,

∴抛物线的解析式为:

2)当x0x≤﹣4时,x+2≥﹣x2+bx+c

3)如图,过D点作x轴的垂线,交x轴于点E

y0

解得:x11x2=﹣4

CO1AO4

设点D的坐标为(m),

∵∠DAC=∠CBO

tanDACtanCBO

∴在RtADERtBOC中有

Dx轴上方时,

解得:m10m2=﹣4(不合题意,舍去),

∴点D的坐标为(02).

Dx轴下方时,

解得:m12m2=﹣4(不合题意,舍去),

∴点D的坐标为(2,﹣3),

故满足条件的D 点坐标为(02)或(2,﹣3).

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