Question

8．锐角△ABC内接于圆，过点A和点C引外接圆的切线，它们分别交过点B的切线于M，N，而BP是△ABC 边AC上的高（P为垂足），求证：∠MPB=∠NPB．

Answer 1

分析 过M作MD⊥AC于D，过N作NE⊥AC于E，由MN是⊙O的切线，根据弦切角定理等等∠NAB=∠ACB，∠NCB=∠CAB，于是得到∠MAC=∠NCA，∠DAM=∠ECN，推出△ADM∽△CEN，得到$\frac{MD}{NE}=\frac{DP}{EP}$，由MD∥BP∥NE，得到$\frac{MB}{NB}=\frac{DP}{EP}$，由于MA，NC分别是⊙O的切线，得到AM=BM，CN=BN，于是得到$\frac{MD}{NE}=\frac{MA}{NC}=\frac{MB}{NB}=\frac{DP}{EP}$，证得R_t△DMP∽R_t△ENP，即可得出结论．

解答 证明：过M作MD⊥AC于D，过N作NE⊥AC于E，
∵MN是⊙O的切线，
∴∠NAB=∠ACB，∠NCB=∠CAB，
∴∠MAC=∠NCA，∠DAM=∠ECN，
∴△ADM∽△CEN，
∴$\frac{MD}{NE}=\frac{DP}{EP}$，
∵MD⊥AC，NE⊥AC，BP⊥AC，
∴MD∥BP∥NE，
∴$\frac{MB}{NB}=\frac{DP}{EP}$，
∵MA，NC分别是⊙O的切线，
∴AM=BM，CN=BN，
∴$\frac{MD}{NE}=\frac{MA}{NC}=\frac{MB}{NB}=\frac{DP}{EP}$，
∴R_t△DMP∽R_t△ENP，
∴∠DPM=EPN，
∴∠MPB=∠NPB．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．