Question

16．四边形ABCD中，E、F分别是BD、AC中点，求证：三角形EFG面积等于四边形AEFD的面积．

Answer 1

分析 先利用三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形，以及面积的和与差得出S_△GFE=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}①，再利用三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形得出S_{四边形AEFD}=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}②，由①②即可得出结论．

解答 证明：如图，

连接DF，FB，
∵点F是AC中点，
∴S_△AFD=$\frac{1}{2}$S_△ACD；
S_△AFB=$\frac{1}{2}$S_△ACB．
∵点E，F分别是BD，AC中点，
∴AF=FC；DE=EB；
∴S_△GFE=（S_△GFC+S_△BFC）-S_△FEB-S_△GEB；
S_△GFE=（$\frac{1}{2}$S_△GAC+$\frac{1}{2}$S_△BAC）-$\frac{1}{2}$S_△FDB-$\frac{1}{2}$S_△GDB．
∴2S_△GFE=S_△GAB-S_△FDB-S_△GDB=S_△ADF+S_△AFB；
即2S_△GFE=$\frac{1}{2}$S_△ACD+$\frac{1}{2}$S_△ACB=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}．
∴S_△GFE=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}①

∵BE=DE，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$S_△BDF，
S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABD，
∴S_{四边形AEFD}=S_△DEF+S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△BDF+$\frac{1}{2}$S_△ABD=$\frac{1}{2}$（S_△BDF+S_△ABD）=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABFD}，
∵AF=CF，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$S_△ACD，
S_△ABF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_{四边形ABFD}=S_△ACD+S_△ABF=$\frac{1}{2}$S_△ACD+$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$（S_△ABC+S_△ACD）=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}
∴S_{四边形AEFD}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABFD}=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}②
由①②得，S_△PFE=S_{四边形AEFD}
即：三角形EFG面积等于四边形AEFD的面积．

点评 此题是面积及等积变换，主要考查了三角形的中线的性质，中点的意义，面积的和差，解本题的关键是三角形的一条中线分成的两个三角形的面积相等，难点是用三角形的中线和面积的和差得出S_△GFE=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}．