Question

1．如图，正方形ABCD的边长为4，点G在BC边上，BG=3，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
（1）求证：BF=AE；
（2）求BF的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明BF=AE，只要证明△ABF≌△DAE即可．
（2）根据$\frac{1}{2}$•AG•BF=$\frac{1}{2}$•AB•BG，推出BF=$\frac{AB•BG}{AG}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
∠ABC=∠BAD=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠DEA=∠AFB=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ADE}\\{∠AFB=∠AED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE．

（2）在Rt△ABG中，∵∠ABG=90°，AB=4，BG=3，
∴AG=$\sqrt{A{B}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•AG•BF=$\frac{1}{2}$•AB•BG，
∴BF=$\frac{AB•BG}{AG}$=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会利用面积法求直角三角形的斜边上的高，属于中考常考题型．