Question

17．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P是AB上（不含端点A，B）任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B′的对应点落在矩形ABCD的对角线上时，BP=$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 分两种情况探讨：①点B落在矩形对角线BD上，②点B落在矩形对角线AC上，由三角形相似得出比例式，即可得出结果．

解答 解①点A落在矩形对角线BD上，如图1所示．

∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3
∴∠ABC=90°，AC=BD，
∴AC=BD=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
根据折叠的性质得：PC⊥BB′，
∴∠PBD=∠BCP，
∴△BCP∽△ABD，
∴$\frac{BP}{AD}=\frac{BC}{AB}$，
即$\frac{BP}{3}=\frac{4-BP}{5}$=$\frac{8-BP}{10}$，
解得：BP=$\frac{9}{4}$．
②点A落在矩形对角线AC上，如图2所示．

根据折叠的性质得：BP=B′P，∠B=∠PB′C=90°，
∴∠AB′A=90°，
∴△APB′∽△ACB，
∴$\frac{B′P}{BC}=\frac{AP}{AC}$，
即$\frac{BP}{3}=\frac{4-BP}{5}$，
解得：BP=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，由三角形相似得出比例式是解决问题的关键．