Question

1．如图①，已知AC是矩形纸片ABCD的对角线，AB=3，BC=4．现将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图②中△A′BC′，当四边形A′ECF是菱形时，平移距离AA′的长是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由矩形的性质求得AC=5，由平移的性质得出A′B=DC=3，设AA′=x，则A′D=4-x，由菱形的性质得出A′E∥FC，A′E=EC，由平行线的性质得出△AA′E∽△ADC，由相似的性质得出$\frac{x}{4}$=$\frac{A′E}{3}$=$\frac{AE}{5}$，求出AE=$\frac{5}{4}$x，A′E=$\frac{3}{4}$x，EC=AC-AE=5-$\frac{5}{4}$x，得出$\frac{3}{4}$x=5-$\frac{5}{4}$x，求出x即可得出结果．

解答 解：∵矩形纸片ABCD，AB=3，BC=4，
∴在图②中，AD=4，A′B=DC=3，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
设AA′=x，
∴A′D=4-x，
∵四边形A′ECF是菱形
∴A′E∥FC，A′E=EC，
∴△AA′E∽△ADC，
$\frac{AA′}{AD}$=$\frac{A′E}{DC}$=$\frac{AE}{AC}$，
即：$\frac{x}{4}$=$\frac{A′E}{3}$=$\frac{AE}{5}$，
∴AE=$\frac{5}{4}$x，A′E=$\frac{3}{4}$x，
∴EC=AC-AE=5-$\frac{5}{4}$x，
∴$\frac{3}{4}$x=5-$\frac{5}{4}$x，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、平移的性质、菱形的性质、三角形相似的判定与性质等知识；熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．