如图1.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.CD是斜边AB上的中线.BC=$\sqrt{3}$CD．(1)求∠DCB的大小,(2)如图2.点F是边BC上一点.将△ABF沿AF所在直线翻折.点B的对应点是点H.直线HF⊥AB.垂足为G.如果AB=2.求BF的长,(3)如图3.点E是△ACD内一点.且∠AEC=150°.联结DE.请判断线段DE.AE.CE能否构成直角三角形?如果能.请证明,如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，BC=$\sqrt{3}$CD．
（1）求∠DCB的大小；
（2）如图2，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF所在直线翻折，点B的对应点是点H，直线HF⊥AB，垂足为G，如果AB=2，求BF的长；
（3）如图3，点E是△ACD内一点，且∠AEC=150°，联结DE，请判断线段DE、AE、CE能否构成直角三角形？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．

分析（1）只要证明AB=2AC，即可得到∠B=30°，再根据DC=DB即可解决问题．
（2）首先证明△ABH是等边三角形，设GF=x，得到BF=2GF=2x，在RT△BFG中利用勾股定理即可解决问题．
（3）线段DE、AE、CE能构成直角三角形，如图3中，作∠ECP=60°，截取CP=CE，连接AP、PE，ED，只要证明△DCE≌△ACP即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴AB=2CD，
设CD=x，则AB=2x，BC=$\sqrt{3}$x，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}-（\sqrt{3}x）^{2}}$=x，
∴AC=DC=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠B=30°，
又CD=BD，
∴∠DCB=∠B=30°．

（2）如图2中，连接BH．

△AHF与△ABF关于直线AF对称，又点B的对应点是点H，
∴AH=AB，HF=BF，
∵HF⊥AB，∠ABC=30°，
∴∠BFG=60°，
∴∠FBH=∠FHB=30°；
∴∠ABH=60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=1，
设GF=x，∴BF=2GF=2x，
∴x²+1²=（2x）²，
解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

（3）线段DE、AE、CE能构成直角三角形．
如图3中，作∠ECP=60°，截取CP=CE，连接AP、PE，ED．

∵PC=CE，∠PCE=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PE=CE，∠PEC=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又CD=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，AC=CD；
∴∠ACD-∠ACE=∠PCE-∠ACE，
即∠DCE=∠ACP，
在△DCE和△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACP=∠ECD}\\{CP=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△ACP，
∴DE=AP，
又∠AEC=150°，
∴∠AEP=150°-60°=90°，
∴线段DE、AE、CE能构成直角三角形．