Question

15．在△ABC中，CA=CB，点M是AB边的中点，MN⊥AC于点N，点E为线段MN的中点，连接CE、BN．
（1）如图1，若∠ACB=90°，
①求tan∠ECA的值；
②求$\frac{CE}{BN}$的值；
（2）如图2，若∠ACB＞90°，且tanA=m（m＜1），请用m的代数式表示$\frac{CE}{BN}$的值．

Answer 1

分析 （1）①根据tan∠ACE=$\frac{NE}{NC}=\frac{1}{2}$，只要证明MN=AN=CN即可解决问题．
②由△CNE∽△BCN，得$\frac{CE}{BN}=\frac{NE}{NC}=\frac{1}{2}$，即可解决问题．
（3）只要证明△MNC∽△ANM，即可解决问题$\frac{MN}{AN}$=$\frac{CM}{AM}$．

解答 解：（1）如图1中，

①∵AB=AC，∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵MN⊥AC，
∴∠ANM=90°，
∴∠A=∠AMN=45°，
∴AN=MN，
∴$\frac{MN}{AN}=1$，
∴$\frac{NE}{AN}=\frac{1}{2}$，
∵MN∥BC，AM=BM，
∴AN=NC，
∴tan∠ACE=$\frac{NE}{NC}=\frac{1}{2}$．

②∵$\frac{BC}{CN}$=2，$\frac{CN}{NE}$=2，
∴$\frac{BC}{CN}$=$\frac{CN}{EN}$，
∵∠BCN=∠CNE=90°，
∴△CNE∽△BCN，
∴$\frac{CE}{BN}=\frac{NE}{NC}=\frac{1}{2}$．

（2）如图2中，连接CM．

∵AC=BC，AM=BM，
∴CM⊥AB，
∵MN⊥AC，
∴∠ANM=∠MNC=90°，
∵∠AMN+∠NMC=90°，∠AMN+∠A=90°，
∴∠A=∠NMC，
∴△MNC∽△ANM，
∴$\frac{MN}{AN}$=$\frac{CM}{AM}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}MN}{AN}$=$\frac{CM}{2AM}$，
即$\frac{EM}{AN}$=$\frac{CM}{AB}$，∵∠A=∠EMC，
∴△EMC∽△NAB，
∴$\frac{CE}{BN}$=$\frac{EM}{AM}$=$\frac{1}{2}m$．

点评 本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似，属于中考常考题型．