Question

13．如图，已知在矩形ABCD中，AB=13．AD=27，将它沿EF折叠，恰好使得点C落在边A′B′上（点A的对应点位A′，点B的对应点为B′），且把线段A′B′分成4：9两部分（A′C＜B′C），A′F与CD相交于点M，则折痕EF的长度为$\frac{13}{3}$$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 首先利用勾股定理求出BE=12，再证明△A′CM∽△B′EC，根据相似三角形对应边成比例求出A′M=3，CM=5，再证明△A′CM∽△DFM，求出DF=$\frac{32}{3}$，则AF=$\frac{49}{3}$．过F作FG⊥BC于G，在△EFG中利用勾股定理即可求出EF的长．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=27，
∵A′B′=AB=13，点C把线段A′B′分成4：9两部分，
∴A′C=4，B′C=9，
设BE=B′E=x，则CE=27-x，
在Rt△B′CE中，B′E²+B′C²=CE²，
即x²+9²=（27-x）²，
解得x=12，
即BE=12，
∵∠A′MC+∠A′CM=∠A′CM+∠B′EC=90°，
∴∠A′MC=∠B′EC，
∵∠A′=∠B′=90°，
∴△A′CM∽△B′EC，
∴A′M：A′C=B′C：B′E，
即A′M：4=9：12，
解得A′M=3，
在Rt△B′CE中，CM=$\sqrt{A′{M}^{2}+A′{C}^{2}}$=5，
∴DM=13-CM=8，
∵∠A′MC=∠DMF，∠A′=∠D=90°，
∴△A′CM∽△DFM，
∴DF：DM=A′C：A′M，
即DF：8=4：3，
解得DF=$\frac{32}{3}$，
则BG=AF=27-DF=$\frac{49}{3}$．
过F作FG⊥BC于G，
EG=BG-BE=$\frac{49}{3}$-12=$\frac{13}{3}$，
FG=AB=13
在Rt△EFG中，EF=$\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\frac{13}{3}$$\sqrt{10}$．
故答案为：$\frac{13}{3}$$\sqrt{10}$．

点评 考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是作出辅助线构造直角三角形．