Question

4．如图，已知正方形纸片ABCD，E为CB延长线上一点，F为边CD上一点，将纸片沿EF翻折，点C恰好落在AD边上的点H，连接BD，CH，CG．CH交BD于点N，EF、CG、BD恰好交于一点M．若DH=2，BG=3，则线段MN的长度为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 作CP⊥HG于P，首先证明DH=HP，GP=BG，推出GH=5，设正方形边长为a，在Rt△AHG中利用勾股定理求出a，再由BG∥CD，得$\frac{BM}{DM}$=$\frac{BG}{CD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，由DH∥CB，得$\frac{DN}{BN}$=$\frac{DH}{BC}$=$\frac{1}{3}$，分别求出BM、DN即可解决问题．

解答 解：作CP⊥HG于P，

∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，AD∥BC，∠CDA=90°，
∴∠DHC=∠HCE，
由翻折性质可知，∠ECH=∠EHC，
∴∠DHC=∠CHE，
∵CD⊥HD，CP⊥HE，
∴CP=CD=BC，
∴△CHD≌△CHP，△CGP≌△CGB，
∴DH=HP=2，PG=GB=3，
∴HG=2+3=5，
设正方形边长为a，在Rt△AHG中，∵HG²=AH²+AG²，
∴5²=（a-2）²+（a-3）²，
∴a=6或-1（舍弃），
∴CD=BC=6，BD=6$\sqrt{2}$，
∵BG∥CD，
∴$\frac{BM}{DM}$=$\frac{BG}{CD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴BM=2$\sqrt{2}$，
∵DH∥CB，
∴$\frac{DN}{BN}$=$\frac{DH}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴DN=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴MN=BD-DN-BM=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．