Question

4．已知二次函数y=ax^2₊bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列五个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确的结论有③④⑤．

Answer 1

分析 首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，判断①；令x=-1时，代入二次函数解析式，可判断②；当x=2时，代入二次函数解析式，可判断③；由对称轴x=1=-$\frac{b}{2a}$，可得a=$-\frac{b}{2}$，代入②的结论，可判断④；根据抛物线的对称轴为直线x=1，开口向下，得到当x=1时，y有最大值，所以am²+bm+c＜a+b+c（m≠1），整理得到m（am+b）＜a+b（m≠1），则可对⑤进行判断．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=1=-$\frac{b}{2a}$，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；

根据图象知道当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴a+c＜b，故②错误；

根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故③正确；

∵对称轴x=1=-$\frac{b}{2a}$，
∴a=$-\frac{b}{2}$，
由②得b＞a+c，
∴b＞-$\frac{b}{2}$+c，
∴3b＞2c
故④正确；

∵由图象知，抛物线的对称轴为直线x=1，开口向下，
∴当x=1时，y有最大值，
∴am²+bm+c＜a+b+c（m≠1），
整理得到m（am+b）＜a+b（m≠1），
故⑤正确；
故答案为：③④⑤．

点评 此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解答此题的关键．