Question

18．如图，已知AC⊥CB，DB⊥CB，AB⊥DE，AB=DE，E是BC的中点．
（1）观察并猜想BD和BC有何数量关系？并证明你猜想的结论．
（2）若BD=6cm，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）结论：BD=BC．只要证明△ABC≌△EDB即可解决问题．
（2）在Rt△DEB中，求出DE，理由全等三角形的性质AB=DE即可解决问题；

解答 解：（1）结论：BD=BC．
理由：∵AC⊥CB，DB⊥CB，AB⊥DE
∴∠C=∠CBD=∠EFB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠DEB=90°
所以∠DEB=∠A，
又AB=DE
在△ABC和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠DBE}\\{∠A=∠DEB}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDB
∴BD=BC．

（2）∵BD=6cm∴BC=6cm
E是BC的中点．
BE=3cm
在Rt△BDE中，$DE=\sqrt{B{D^2}+B{E^2}}=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}$，
∴AB=DE=$3\sqrt{5}（cm）$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．