题目内容
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°，点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（0＜x＜6）．（1）点G在四边形ABCD的边上时，x=2；点F与点C重合时，x=3；
（2）求出使△DFC成为等腰三角形的x的值；
（3）求△EFG与四边形ABCD重叠部分的面积y与x之间的函数关系式，并直接写出y的最大值．
分析 （1）如图1中，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形．当等边三角形△EGF的高=$\sqrt{3}$时，点G想AD上，此时x=2，当点F与C重合时，BE=$\frac{1}{2}$BC=3，此时x=3；
（2）分三种情形：①当CF=CD且F在C左侧时，当CF=CD且F在C右侧时，当FC=DF时，分别构建方程即可解决问题；
（3）分图1，图2，图3三种情形解决问题．①当0＜x≤2时，如图1中，△EFG在四边形ABCD内部，重叠部分就是△EFG；
②当2＜x＜3时，如图2中，点E、F在线段BC上，△EFG与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM；
③当3≤x＜6时，如图3中，点E在线段BC上，点F在射线BC上，重叠部分是△ECP；
解答 解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形．
∵AD=BH=3，BC=6，
∴CH=BC-BH=3，
在Rt△DHC中，CH=3，∠DCH=30°，
∴DH=CH•tan30°=$\sqrt{3}$，
当等边三角形△EGF的高=$\sqrt{3}$时，点G想AD上，此时x=2，
当点F与C重合时，BE=$\frac{1}{2}$BC=3，此时x=3，
所以点G在四边形ABCD的边上时，x=2，点F与点C重合时，x=3．
故答案为2，3．
（2）注意到0＜x＜6，故△DFC为等腰三角形只有三种情形：
①当CF=CD且F在C左侧时，6-2x=2$\sqrt{3}$，x=3-$\sqrt{3}$，
②当CF=CD且F在C右侧时，2x-6=2$\sqrt{3}$，x=3+$\sqrt{3}$，
③当FC=DF时，6-2x=$\sqrt{3}$，x=$\frac{6-\sqrt{3}}{2}$，
综上所述，x的值为3-$\sqrt{3}$或3+$\sqrt{3}$或$\frac{6-\sqrt{3}}{2}$．
（3）①当0＜x≤2时，如图1中，△EFG在四边形ABCD内部，所以y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x2．
②当2＜x＜3时，如图2中，点E、F在线段BC上，△EFG与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC=∠FCN=30°，
∴FN=FC=6-2x，
∴GN=3x-6，
∵∠G=60°，
∴△GNM是直角三角形，
∴y=S△EFG-S△GMN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x2-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（3x-6）2=-$\frac{7\sqrt{3}}{8}$x2+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
③当3≤x＜6时，如图3中，点E在线段BC上，点F在射线BC上，重叠部分是△ECP，
y=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（6-x）2=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x2-$\frac{3\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
点评 本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、锐角三角函数、等腰三角形的判定和性质、多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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| A． | 628ml | B． | 603ml | C． | 588ml | D． | 568ml |
已知矩形ABCD，AB=10，BC=5，点P以2单位/秒的速度从A出发沿AD-DC-CB到点B，点Q以1单位/秒的速度从A出发沿AB到点B，点P、Q同时出发，△APQ的面积y随运动时间x秒的变化的大致图象是（ ）
| A． | 2x•（-xy）2=-2x3y | B． | （-x2）3÷（-x3）2=1 | ||
| C． | （$\frac{3}{4}$a3-$\frac{1}{2}$b）•2ab=$\frac{3}{2}$a4b-ab2 | D． | （3m-1）2=9m2-1 |
如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，
如图，已知AC⊥CB，DB⊥CB，AB⊥DE，AB=DE，E是BC的中点．