Question

16．如图①，OP为一墙面，它与地面OQ垂直，有一根木棒AB如图放置，点C是它的中点，现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动，点B由O点向OQ方向滑动，直到AB横放在地面为止．
（1）在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述（　　）

（2）若木棒长度为2m，如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°，当AB滑动过程中，与OM并于点D，分别求出当AD=$\frac{3}{4}$、AD=1、AD=$\frac{4}{3}$时，OD的值．
（3）如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm，下水道水平段高度为40cm，现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长可以是113（cm）（直接写出结果，结果四舍五入取整数）．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（2）分三种情形根据DH∥QO，可得$\frac{AD}{DB}$=$\frac{AH}{HO}$，求出AH，再利用勾股定理求解即可；
（3）由题意当等腰直角三角形的直角边为80cm时，斜边为$\sqrt{8{0}^{2}+8{0}^{2}}$≈113cm，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵点C是AB的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB，
∴点C的运动轨迹是以O为圆心，$\frac{1}{2}$AB长为半径的圆弧，经过的路程的$\frac{1}{4}$圆周．
故选甲．

（2）过D作DH⊥OP于H，设DH=a，在Rt△OHD中，
∵∠AOD=90°-60⁰=30⁰，
∴OD=2a，OH=$\sqrt{3}$a，
∵DH⊥OA，OQ⊥OA，
∴DH∥QO，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{AH}{HO}$，
当AD=$\frac{3}{4}$时，BD=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}$=$\frac{AH}{\sqrt{3}a}$，
∴AH=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$a，
在Rt△AHD中，
∵AH²+DH²=AD²，
∴$\frac{27}{25}$a²+a²=$\frac{9}{16}$，
解得a=$\frac{15\sqrt{13}}{104}$，OD=$\frac{30\sqrt{13}}{104}$，
当AD=1时，BD=1，
∴$\frac{1}{1}$=$\frac{AH}{\sqrt{3}a}$，
∴AH=$\sqrt{3}$a，
在Rt△AHD中，∵AH²+DH²=AD²，
∴3a²+a²=1，
解得a=$\frac{1}{2}$，OD=1，
当AD=$\frac{4}{3}$时，BD=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{AH}{\sqrt{3}a}$，
∴AH=2$\sqrt{3}$a，
在Rt△AHD中，∵AH²+DH²=AD²，
∴12a²+a²=$\frac{16}{9}$，
  解得a=$\frac{4\sqrt{13}}{39}$，OD=$\frac{8\sqrt{13}}{39}$．
（3）由题意当等腰直角三角形的直角边为80cm时，斜边为$\sqrt{8{0}^{2}+8{0}^{2}}$≈113cm，
所以这根木棒最长可以是113cm． 
故答案为113cm．

点评 本题考查相似形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．