Question

7．如图，在△ABC中，
①若BE、CD分别是三角形的角平分线，∠A=n°，则∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$n°；
②若BE、CD分别是三角形的高，∠A=n°，则∠BOC=180°-n°；
③若BE、CD分别是三角形的中线，S_△BOD=1，则S_△COE=1．

Answer 1

分析 ①先利用角平分线的定义得到∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，则∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），再利用三角形内角和得到∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-n°），则∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，然后根据三角形内角和可用n°表示出∠BOC；
②利用高的定义得到∠ADC=∠AEB=90°，则根据四边形的内角和∠DOE=180°-n°，然后利用对顶角相等得到∠BOC的度数；
③利用三角形的中线定义得到AD=BD，AE=CE，则根据三角形的面积公式得到S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，则S_△BCD=S_△BCE，从而得到S_△BOD=S_△COE=1．

解答 解：①∵BE、CD分别是三角形的角平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-n°），
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-n°）=90°+$\frac{1}{2}$n°；
②∵BE、CD分别是三角形的高，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠DOE=180°-∠A=180°-n°，
∴∠BOC=∠DOE=180°-n°；
③∵BE、CD分别是三角形的中线，
∴AD=BD，AE=CE，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△BCD=S_△BCE，
∴S_△BOD=S_△COE=1．
故答案为90°+$\frac{1}{2}$n°；180°-n°；1．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形的三线（高、角平分线、中线）和三角形面积公式．