Question

4．如图，已知⊙O中，AB是直径，PA和PC分别与⊙O相切于A，C两点，连结OP，CB
（1）求证：OP∥CB；
（2）延长PC交AB的延长线于点D，若PC=12，sin∠POA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求PD的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明OP⊥AC，BC⊥AC即可．
（2）由BC∥PO，得$\frac{DC}{DP}$=$\frac{BC}{PO}$，求出BC、PO即可解决问题．

解答 （1）证明：如图连接AC、OC，
∵PA和PC分别与⊙O相切于A，C两点，
∴PA=PC，∵OA=OC，
∴OP垂直平分AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴PO∥BC．

（2）解：在RT△POA中，∵PA=PC=12，sin∠POA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴OA=24，OP=12$\sqrt{5}$，
∴AB=48，
在RT△ABC中，∵sin∠POA=sin∠CBA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AB=48，
∴AC=$\frac{96\sqrt{5}}{5}$，BC=$\frac{48\sqrt{5}}{5}$，
∵BC∥PO，
∴$\frac{DC}{DP}$=$\frac{BC}{PO}$，
∴$\frac{DC}{DC+12}$=$\frac{\frac{48\sqrt{5}}{5}}{12\sqrt{5}}$，
∴DC=48，
∴PD=60．

点评 本题考查切线的性质、锐角三角函数、垂直平分线的判定和性质、平行线的性质等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．