Question

17．如图，△ABC中，AB=AC，AD=BC，∠A=20°，求∠DCA的度数．

Answer 1

分析 以AC为边在△ABC外作等边三角形KAC，连接DK，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-20°）=80°，由等边三角形的性质得到AK=AC=AB，∠KAD=20°+60°=80°，证得△ADK≌△ABC，求得∠AKD=20°，推出A，D，C，在，以K为圆心的圆上，根据圆周角定理即可得到结论．

解答 解：以AC为边在△ABC外作等边三角形KAC，连接DK，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-20°）=80°，
∵△KAC是等边三角形，
∴AK=AC=AB，∠KAD=20°+60°=80°，
在△KAD与△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠DAK=∠B}\\{AK=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADK≌△ABC，
∴∠AKD=20°，
AK=DK=CK=AC，
∴A，D，C，在，以K为圆心的圆上，
∴∠DCA=$\frac{1}{2}∠$AKD=10°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．