Question

5．如图，在矩形ABCD中，已知AB=6cm，BC=8cm，连接BD，动点P从点B出发沿BD向终点D运动，速度为1厘米/秒，过点P作BD的垂线交折线BA-AD于点E，交折线BC-CD于点F，点P运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，点E与点A重合；当t为何值时，点F与点C重合；
（2）在运动过程中，直线EF扫过的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）如图①所示，当点A与点E重合时，根据三角形ABP与三角形DAB相似，由相似得比例求出BP长，确定出此时t的值；如图②所示，当点F与点C重合时，根据三角形BPF与三角形BCD相似，由相似得比例求出BP的长，确定出此时t的值即可；
（2）分三种情况考虑：当0＜t≤3.6时，如图③所示，直线EF扫过的图形为三角形BEF，表示出三角形BEF面积S与t的关系式；当3.6＜t≤6.4时，如图④所示，直线EF扫过的图形为梯形ABFE，求出S与t的关系式；当6.4＜t≤10时，如图⑤所示，直线EF扫过的图形为五边形ABCFE，由矩形面积减去三角形EDF面积表示出S与t的关系式即可．

解答 解：（1）如图①所示，

当点E与点A重合时，
∵∠APB=∠BAD=90°，∠ABP=∠DBA，
∴△ABP∽△DBA，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BP}{AB}$，即$\frac{6}{10}$=$\frac{BP}{6}$，
解得：BP=3.6，即t=3.6；
如图②所示，

当点F与点C重合时，
∵∠BPC=∠BCD=90°，∠PBC=∠CBD，
∴△BPF∽△BCD，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BP}{BC}$，即$\frac{8}{10}$=$\frac{BP}{8}$，
∴BP=6.4，即t=6.4；
（2）当0＜t≤3.6时，如图③所示，

在运动过程中，直线EF扫过的面积为S=$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{3}$t•$\frac{5}{4}$t=$\frac{25}{24}$t²（cm²）；
当3.6＜t≤6.4时，如图④所示，

在运动过程中，直线EF扫过的面积为S=$\frac{1}{2}$•[8-$\frac{5}{4}$（10-t）+$\frac{5}{4}$t]•6=$\frac{15}{2}$t-$\frac{27}{2}$；
当6.4＜t≤10时，如图⑤所示，

运动过程中，直线EF扫过的面积为S=6×8-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$（10-t）×$\frac{5}{3}$（10-t）=-$\frac{25}{24}$t²+$\frac{125}{6}$t-$\frac{337}{6}$．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形，梯形，五边形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．