Question

1．（1）操作发现：
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D在线段BC上（不与点B重合），连接AD，将线段AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接EC，如图①所示，请直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系．
（2）猜想论证：
在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，请你在图②中画出图形并判断（1）中的结论是否成立，并证明你的判断．
（3）拓展延伸：
如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于45度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC=3$\sqrt{2}$时，请直接写出线段CF的长的最大值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）只要证明△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．
（2）结论不变．证明的方法与（1）一样．
（3）①当锐角∠ACB=45°时，CE⊥BD．过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根据旋转的性质得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，则NE=MA，由于∠ACB=45°，则AM=MC，所以MC=NE，易得四边形MCEN为矩形，得到∠DCF=90°，
②由Rt△AMD∽Rt△DCF，得$\frac{MD}{CF}$=$\frac{AM}{DC}$，由此构建二次函数，再利用二次函数即可求得CF的最大值．

解答 解：（1）CE=BD，CE⊥BD；
理由：如图①中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；

（2）结论：（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图②中，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=90°，
所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；

（3）①结论：当锐角∠ACB=45°时，CE⊥BD．理由如下：
如图③中，过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，
易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵∠ACB=45°，
∴△AMC为等腰直角三角形，
∴AM=MC，
∴MC=NE，
∵AM⊥BC，EN⊥AM，
∴NE∥MC，
∴四边形MCEN为平行四边形，
∵∠AMC=90°，
∴四边形MCEN为矩形，
∴∠DCF=90°，
∴EC⊥BD．

②∵Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴$\frac{MD}{CF}$=$\frac{AM}{DC}$，
设DC=x，
∵∠ACB=45°，AC=3 $\sqrt{2}$，
∴AM=CM=3，MD=3-x，
∴$\frac{3-x}{CF}$=$\frac{3}{x}$，
∴CF=-$\frac{1}{3}$x²+x=-$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴当x=1.5时，CF有最大值，最大值为$\frac{3}{4}$．
故答案为45，$\frac{3}{4}$；

点评 本题考查三角形综合题、旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．