Question

13．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在边AD上，记为点G，BC的对应边GI与边CD交于点H，折痕为EF，则AE=4$\sqrt{3}$-2时，△EGH为等腰三角形．

Answer 1

分析 根据余角的性质得到∠AEG=∠DGH，根据全等三角形的性质得到DG=AE，由折叠的性质得到BE=GE，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=∠B=∠EGH=90°，
∴∠AGE+∠AEG=∠AGE+∠DGH=90°，
∴∠AEG=∠DGH，
∵△EGH为等腰三角形，
∴EG=GH，
在△AEG与△DGH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠AEG=∠DGH}\\{EG=GH}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△DGH，
∴DG=AE，
∵AB=8，AD=6，
将矩形ABCD折叠，使得点B落在边AD上，
∴BE=GE，
∴BE=8-AE，
∴AG=AE+2，
∵AG²+AE²=GE²，
∴（AE+2）²+AE²=（8-AE）²，
∴AE=4$\sqrt{3}$-2，
∴AE=4$\sqrt{3}$-2时，△EGH为等腰三角形．
故答案为：4$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了折叠的性质，以及勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．