Question

12．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，E为AC上一点，AE=AB，连接DE．
（1）求证：△ABD≌△AED；
（2）已知BD=5，AB=9，求AC长．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AE=AB，DE=BD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠C+∠CDE，从而求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，然后根据AC=AE+CE计算即可得解．

解答 （1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AED（SAS）；

（2）解：∵△ABD≌△AED，
∴AE=AB=9，DE=BD=5，∠AED=∠B，
由三角形的外角性质得，∠AED=∠C+∠CDE，
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE=5，
∴AC=AE+CE=9+5=14．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于（2）求出CE=DE．