Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF为⊙O的切线，交AC于点F．
（1）求证：EF⊥AC；
（2）若FC=3，BE=2，OB=2，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）先证明OE⊥EF，再证明OE∥AC，即可证明．
（2）利用△DBE∽△ECF，得$\frac{EC}{BD}$=$\frac{FC}{BE}$，求出EC即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB，
∴EO∥AC，
∴∠OEF=∠EFC，
∵直线EF是⊙O切线，
∴OE⊥EF，
∴∠OEF=∠EFC=90°，
∴EF⊥AC．
（2）解：连接DE．
∵BD是直径，
∴∠DEB=90°=∠EFC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴△DBE∽△ECF，
∴$\frac{EC}{BD}$=$\frac{FC}{BE}$，
又∵BD=2OB=4，
∴$\frac{EC}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴EC=6，
∴BC=BE+EC=8．

点评 本题考查切线的性质、平行线的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是综合应用这些知识解决问题，寻找相似三角形是关键，属于中考常考题型．