题目内容
6．
如图，点A是双曲线y=$\frac{8}{x}$（x＞0）上的动点，过A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）于点B、C，连接BC，设点A的横坐标为a．（1）请用含a的代数式分别表示A、B、C坐标（直接写出）；
（2）随着点A的运动，△ABC的面积是否发生变化？若不变，求出△ABC的面积；若改变，请说明理由．
（3）在直线y=2x上是否存在点D，使得点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出相应的点A坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）把x=a代入双曲线y=$\frac{8}{x}$（x＞0），求出y的值，表示出A坐标；根据A与B纵坐标相同确定出B坐标，根据A与C横坐标相同确定出C坐标即可；
（2）不变，理由为：根据（1）表示出的AB与AC，表示出三角形ABC面积，化简即可作出判断；
（3）在直线y=2x上存在点D，使得点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况考虑：①当四边形ACBD为平行四边形；②当四边形ACDB为平行四边形；③当四边形ABCD为平行四边形，分别求出A的坐标即可．
解答 解：（1）根据题意得：A（a，$\frac{8}{a}$）、B（$\frac{1}{4}$a，$\frac{8}{a}$）、C（a，$\frac{2}{a}$）；
（2）不变，理由为：
根据题意得：S△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB=$\frac{1}{2}$•（$\frac{8}{a}$-$\frac{2}{a}$）•（a-$\frac{1}{4}$a）=$\frac{9}{4}$，
∴随着点A的运动，△ABC的面积不变，面积为$\frac{9}{4}$；
（3）在直线y=2x上存在点D，使得点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
分三种情况考虑：
①若四边形ACBD为平行四边形，
∴DB=AC，
∴$\frac{a}{2}$-$\frac{8}{a}$=$\frac{8}{a}$-$\frac{2}{a}$，
解得：a=2$\sqrt{7}$（a=-2$\sqrt{7}$舍去）；
经检验a=2$\sqrt{7}$是原方程的根，
∴A（2$\sqrt{7}$，$\frac{4\sqrt{7}}{7}$）；
②若四边形ACDB为平行四边形，
∴DC=AB，
∴a-$\frac{1}{a}$=a-$\frac{1}{4}$a，
解得：a=2（a=-2舍去），
经检验a=2是原方程的根，
∴A（2，4）；
③若四边形ADCB为平行四边形，
∴AB=DC，
∴a-$\frac{1}{4}$a=$\frac{1}{a}$-a，
解得：a=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$（a=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$舍去），
经检验a=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$是原方程的根，
∴A（$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，4$\sqrt{7}$），
综上所述：点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，A点坐标为（2$\sqrt{7}$，$\frac{4\sqrt{7}}{7}$）或（2，4）或（$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，4$\sqrt{7}$）．
点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，以及三角形面积求法，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．
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