Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=2

2

，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是G、H．若由E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则该菱形的边长为

 

．

Answer 1

考点：菱形的判定,矩形的性质,轴对称的性质

专题：

分析：首先根据题意画出图形，可证明矩形的四个顶点A、B、C、D均在菱形EFGH的边上，且点A、C分别为各自边的中点；继而证明菱形的边长等于矩形的对角线长；然后求出线段AP的长度，证明△AOP为等腰三角形；再利用勾股定理求出线段OP的长度；则同理求出OQ的长度，从而得到PQ的长度．

解答：解：由矩形ABCD中，AB=2，AD=2

2

，可得对角线AC=BD=

AB2+CD2

=2

3

．
依题意画出图形，如右图所示．
由轴对称性质可知，∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°，
∴点A在菱形EFGH的边EF上．
同理可知，点B、C、D均在菱形EFGH的边上．
∵AP=AE=AF，
∴点A为EF中点．
同理可知，点C为GH中点．
连接AC，交BD于点O，则有AF=CG，且AF∥CG，
∴四边形ACGF为平行四边形，
∴FG=AC=2

3

，
即菱形EFGH的边长等于矩形ABCD的对角线长．
∴EF=FG=2

3

，
∵AP=AE=AF，
∴AP=

1

2

EF=

3

．
∵OA=

1

2

AC=

3

，
∴AP=AO，
即△APO为等腰三角形．
过点A作AN⊥BD交BD于点N，则点N为OP的中点．
由S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

AC•AN，
可求得：AN=

2 6

3

．
在Rt△AON中，由勾股定理得：ON=

OA2-AN2

=

3

3

，
∴OP=2ON=

2 3

3

；
同理可求得：OQ=

2 3

3

，
∴PQ=OP+OQ=

4 3

3

．
故答案为：

4 3

3

．

点评：本题是几何变换综合题，难度较大．首先根据题意画出图形，然后结合轴对称性质、矩形性质、菱形性质进行分析，明确线段之间的数量关系，最后由等腰三角形和勾股定理求得结果．