Question

13．如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P为直线BC上一动点，分别过B、C作BD⊥AP于D，CE⊥AP于E．

（1）若点P为CB延长线上一点，则线段BD、CE、DE是否存在某种确定的数量关系？写出你的结论并证明．
（2）如图2若点P为线段BC上一点，则线段BD、CE、DE是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论DE=BD-CE（不证明）．
（3）如图3，若点Q为线段AC上一点，分别过A、C作AD⊥BQ于D，CE⊥BQ于E，则线段AD、BD、CE是否存在某种确定的数量关系？直接写出你的结论DB=AD+CE．（不证明）

Answer 1

分析 （1）先判断出，∠BAD+∠CAE=90°，再判断出，∠ABD+∠BAD=90°，即可得到∠ABD=∠CAE，进而得出，△ABD≌△CAE即可得出结论；
（2）先判断出，∠BAD+∠CAE=90°，再判断出，∠ABD+∠BAD=90°，即可得到∠ABD=∠CAE，进而得出，△ABD≌△CAE即可得出结论；
（3）先用互余得出，∠BAD=∠AQD即可得出，△ABD∽△QAD，即：$\frac{DB}{AD}=\frac{AB}{AQ}$，再转化成$\frac{DB-AD}{AD}=\frac{CQ}{AQ}$，再判断出，△CEQ∽ADQ，即：$\frac{CE}{AD}=\frac{CQ}{AQ}$，即可得出结论．

解答 解：（1）DE=CE+BD，
理由：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥AP，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
∵CE⊥AP，BD⊥AP，
∴∠ADB=∠CEA=90°
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AD+AE=CE+BD
（2）如图2，


DE=BD-CE，
理由：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥AP，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
∵CE⊥AP，BD⊥AP，
∴∠ADB=∠CEA=90°
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AE-AD=BD-CE，
故答案为：DE=BD-CE
（3）DB=AD+CE．
理由：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠QAD=90°，
∵AD⊥BQ，
∴∠QAD+∠AQD=90°，
∴∠BAD=∠AQD，
∵∠ADB=∠QDA，
∴△ABD∽△QAD，
∴$\frac{DB}{AD}=\frac{AB}{AQ}$，
∵AB=AC=AQ+CQ，
∴$\frac{DB}{AD}=\frac{AQ+CQ}{AQ}$，
∴$\frac{DB-AD}{AD}=\frac{CQ}{AQ}$
∵AD⊥BQ，CE⊥BQ，
∴∠ADQ=∠CEQ=90°，
∵∠AQD=∠CQE，
∴△CEQ∽ADQ，
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{CQ}{AQ}$，
∴$\frac{DB-AD}{AD}=\frac{CE}{AD}$，
∴DB-AD=CE，
即：DB=AD+CE．
故答案为：DB=AD+CE．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质，比例的性质，解本题的关键是判断出，△ABD≌△CAE，难点是（3）中相似三角形的选用．是一道比较好的中考常考题．