Question

如图，E为正方形的CD边上一点，连接BE，过点A作AF∥BE，交CD的延长线于点F，  的平分线分别交AF、AD于点G、H．

（1）若，，求的长度；
（2）证明：．

Answer 1

（1）—1   （2）通过证明∠M=∠MBE得 BE=EM=AH+DF从而BE=AH+DF  

试题分析：（1）∵ABCD是正方形
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∵∠CBE=30°且BG平分∠ABE,
∴∠ABG=∠GBE=30°
∴∠AGB=∠GBE
∴∠ABG=∠AGB
∴AB=AG=      
又∵在Rt△ABE中，∠ABG=30°
∴AH=AB=1     
又∵ABCD是正方形
∴AD=AB
∴DH=—1     
（2）证明：将△ABH绕着点B顺时针旋转90°

∵ABCD是正方形
∴AD=BC,∠ADC=∠C=90°
∴∠ADF=∠C
∵AF∥BE
∴∠F=∠BEC
∴△ADF≌△BCE
∴DF=CE           
又由旋转可知：AH=CM,∠AHB=∠M,∠BAH=∠BCM=90°
∵∠BCD=90°
∴∠BCD+∠BCM=180°
∴点E、C、M在同一直线。 
∴AH+DF="EC+CM=EM"
又∵BG平分∠ABE,
∴∠ABG=∠GBE
又∵∠ABH=∠CBM
∴∠GBE=∠CBM
∴∠GBE+∠CBE=∠CBM+∠CBE
即 ∠GBC=∠MBE 
又∵正方形ABCD中，AD∥BC
∴∠AHB=∠GBC
∴∠GBC=∠M
∴∠M=∠MBE     
∴BE=EM=AH+DF
∴BE=AH+DF       
点评：本题考查正方形、角平分线，旋转，考生对正方形的性质、角平分线的性质，旋转的特征的熟悉是解本题的关键，要求学生对相应的知识掌握