Question

2．如图所示，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y（cm²）与t（s）的关系式；是否存在某一时刻t（s），使得四边形APQC的面积有最值？并求最值．

Answer 1

分析 （1）本题要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（2）本题可先用△ABC的面积-△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系，根据二次函数的性质判断函数有最小值，并求出即可．

解答 解：（1）根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=$\frac{1}{2}$BP，
即t=$\frac{1}{2}$（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=$\frac{1}{2}$BQ，
3-t=$\frac{1}{2}$t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

（2）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=$\frac{PM}{PB}$，
∴PM=PB•sin∠B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BQ•PM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），
∴y=S_△ABC-S_△PBQ，
=$\frac{1}{2}$×3×（3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）-$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴y与t的关系式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∵a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$＞0，
∴四边形APQC的面积有最小值，y_最小=$\frac{27\sqrt{3}}{16}$．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积、等边三角形的性质、直角三角形性质、勾股定理、函数的解析式等，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，