Question

如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，过AC的中点O作AC的垂线EF分别交AB于点E，CD于点F，求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,平行四边形的性质

专题：证明题

分析：首先证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相互垂直的平行四边形是菱形即可得证．

解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CFO=∠AEO，∠FCO=∠EAO，
∵O是AC中点，
∴OE=OF，
在△CFO和△AEO中，

∠CFO=∠AEO ∠FCO=∠EAO FO=EO

，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴FO=EO，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的判定方法以及其性质．