Question

4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的平分线，交AC于点D，以点D为圆心、DC为半径作⊙D．
（1）求证：⊙D与AB相切．
（2）若⊙D与AB的切点为E，BD与⊙D交于点F，且DE∥CF，判断四边形CDEF的形状并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接DE，EF，CF，根据切线的性质得到BC=BE，根据全等三角形的性质得到CF=EF，∠CFB=∠EFB，根据平行线的性质得到∠CFD=∠EDF，等量代换得到∠EDF=∠EFD，得到DE=EF，于是得到结论．

解答 （1）证明：如图1，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，
∴CD=DE，
∴⊙D与AB相切；
（2）四边形CDEF是菱形，
理由：如图2，连接DE，EF，CF，
∵∠ACB=90°，CD是⊙D 半径，
∴BC是⊙D 的切线，
∵AB是⊙D的切线，
∴BC=BE，
在△CBF与△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BE}\\{∠CBF=∠EBF}\\{BF=BF}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△EBF，
∴CF=EF，∠CFB=∠EFB，
∴∠CFD=∠DFE，
∵CF∥DE，
∴∠CFD=∠EDF，
∴∠EDF=∠EFD，
∴DE=EF，
∴DE=CF，
∴四边形CDEF是菱形．

点评 本题考查了切线的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．