Question

11．如图，等腰△ABC的底边BC=8cm，腰AC=5cm，AD是底边BC上的高，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/s的速度移动，设运动时间为t（s）．
（1）求AD的长；
（2）当t=12s时，PC=AC；
（3）当△PAC是直角三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长；
（2）先求出P点移动的路程BP，再除以速度即可；
（3）分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥BC，从而可得到运动的时间．

解答 解：（1）∵等腰△ABC的底边BC=8cm，AD是底边BC上的高，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4cm，
∵腰AC=5cm，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=3cm；

（2）∵PC=AC=5cm，
∴BP=BC-PC=3cm，
∵动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/s的速度移动，
∴t=3÷0.25=12s．
故答案为12；

（3）分两种情况：
①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，
∵AP²=PD²+AD²=PC²-AC²，
∴PD²+AD²=PC²-AC²，
∴PD²+3²=（PD+4）²-5²，
∴PD=2.25，
∴BP=4-2.25=1.75=0.25t，
∴t=7秒；
当点P运动t秒后有PA⊥BC时，即P与D重合，
∵BP=BD=4=0.25t，
∴t=16秒，
∴点P运动的时间为7秒或16秒．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，利用数形结合以及分类讨论是解题的关键．