Question

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，且C（4，0）、D（0，3）．现有两动点P、Q分别从A、C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：菱形ABCD的边长是

 

、面积是

 

、高BE的长是

 

；
（2）若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位．当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值．

Answer 1

考点：菱形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据点C、D的坐标求出OC、OD，然后利用勾股定理列式计算即可求出边长，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AC、BD，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；利用菱形的面积列出方程求解即可得到BE的长；
（2）过点Q作QG⊥AD，垂足为G，根据△AQG和△ABE相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出QG，然后根据三角形的面积公式列式整理即可，再根据二次函数的最值问题解答，

解答：解：（1）∵C（4，0）、D（0，3），
∴OC=4，OD=3，
由勾股定理得，CD=

OC2+OD2

=

42+32

=5，
∵AC=2OC=8，BD=2OD=6，
∴菱形的面积=

1

2

×8×6=24，
菱形的面积=

1

2

×5BE=24，
解得BE=

24

5

；
故答案为：5，24，

24

5

；

（2）由题意，得AP=t，AQ=10-2t，
如图，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，
∵QG∥BE，
∴△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

=

AQ

AB

，
∴QG=

10-2t

5

×

24

5

=

48

5

-

48

25

t，
∴S=

1

2

AP•QG=

1

2

t（

48

5

-

48

25

t）=-

24

25

t²+

24

5

t（

5

2

≤t≤5），
∵S=-

24

25

t²+

24

5

t=-

24

25

（t-

5

2

）²+6（

5

2

≤t≤5）
∴当t=

5

2

时，S最大值为6．

点评：本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的应用，（1）利用菱形的面积列出方程是求BE的关键，（2）求面积的最大值时要注意t的取值范围．