Question

4．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、BF交于点H．试判断AE与BF的数量关系和位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 AE=BF，AE⊥BF，首先证△ABE≌△BCF，推出AE=BF，∠BAE=∠CBF，求出∠CBF+∠AEB=90°，求出∠BHE=90°即可．

解答 解：AE=BF，AE⊥BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠C=90°，AB=BC，
∵在△ABE和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BHE=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF．

点评 本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判断和性质，熟记正方形的各种性质以及全等三角形的各种判断方法是解题的关键．