Question

15．（1）如图1，OP是∠MON的平分线，请你在图1中画出一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请判断写出FE与FD之间的数量关系．
（3）如图3，△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（2）中的其他条件不变，AE=3，CD=2，求AC的长度．

Answer 1

分析 （1）在∠MON的角平分线上任意取一点A，过点A作∠MON两边的垂线，垂足分别为B，C，则所构成的两个三角形全等，它们关于OP对称；
（2）根据图（1）的作法，在AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF=GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根据图（1）的作法，在AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF（SAS），得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG，进而得出AC的长度．

解答 解：（1）如图1所示，△AOB≌△AOC；


 （2）FE与FD之间的数量关系为：DF=EF．
证明：如图2，在AC上截取CG=CD，

∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF=∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CD}\\{∠DCF=∠GCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF=GF．
∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠FCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，且∠EAF=∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=120°，
∴∠CFD=60°=∠CFG，
∴∠AFG=60°，
又∵∠AFE=∠CFD=60°，
∴∠AFE=∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠AFG}\\{AF=AF}\\{∠EAF=∠GAF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF=GF，
∴DF=EF；

（3）如图3，在AC上截取AG=AE，

同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA=∠GFA．
又由题可知，∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠FCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°，
∴∠EFA=∠GFA=180°-120°=60°=∠DFC，
∴∠CFG=∠CFD=60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD=CG，
∴AC=AG+CG=AE+CD=3+2=5．

点评 此题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．