Question

如图：在△ABC中，∠ACB=2∠ABC；△ABC内部有一点P满足PA=AC，CP=PB．
（1）试求∠ABP；
（2）研究∠BAP与∠PAC度数的比值．

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）把△ABP绕点A逆时针旋转，使PA与AC重合得到△AB′C，连接PB′，根据旋转的性质可得PB=B′C，∠ABP=∠AB′C，设∠ABP=x，∠PBC=y，然后表示出∠ACP，再根据三角形内角和定理和周角等于360°表示出∠APB，然后求出∠PCB′，再根据等边对等角求出∠PB′C，从而求出∠AB′P=∠AB′C，连接BB′，根据等边对等角和等角对等边求出PB=PB′，然后得到△PB′C是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可；
（2）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得A、P都在BB′的垂直平分线上，然后求出∠BAP=∠B′AP，从而得到∠BAP=∠B′AP=∠B′AC，然后求解即可．

解答：（1）解：如图，把△ABP绕点A逆时针旋转，使PA与AC重合得到△AB′C，连接PB′，
则PB=B′C，∠ABP=∠AB′C，
设∠ABP=x，∠PBC=y，
∵∠ACB=2∠ABC，
∴∠ACB=2x+2y，
∵CP=PB，
∴∠PCB=∠PBC=y，
∵PA=AC，
∴∠APC=∠ACP=∠ACB-∠PCB=2x+2y-y=2x+y，
∴∠APB=360°-∠APC-∠BPC=360°-（2x+y）-（180°-2y）=180°-2x+y，
∴∠PCB′=∠ACB′-∠ACP=（180°-2x+y）-（2x+y）=180°-4x，
∵PB=B′C，PB=PC，
∴PC=B′C，
∴∠PB′C=

1

2

（180°-∠PCB′）=

1

2

×180°-

1

2

（180°-4x）=2x，
∴∠AB′P=∠AB′C=x，
连接BB′，
∵AB=AB′，
∴∠ABB′=∠AB′B，
∴∠PBB′=∠PB′B，
∴PB=PB′，
∴△PB′C是等边三角形，
∴∠AB′C=

1

2

×60°=30°，
∴∠ABP=30°；

（2）解：∵PB=PB′，AB=AB′，
∴A、P都在BB′的垂直平分线上，
∴∠BAP=∠B′AP，
∴∠BAP=∠B′AP=∠B′AC，
∴∠PAC=∠B′AP+∠B′AC=2∠BAP，
∴∠BAP与∠PAC度数的比值是1：2．

点评：本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，作出旋转后的三角形得到等边三角形和等腰三角形是解题的关键，难点在于根据角度的转换求出以及等角对等边求出PB=PB′．