Question

如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．
（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP的长；
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,三角形的面积

专题：动点型

分析：（1）先由勾股定理求出△ABC的斜边AB=10cm，则△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC．

解答：解：（1）△ABC中，∵∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，
∴t=12÷2=6（秒）；

（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP=8+5=13（cm），
∴t=13÷2=6.5（秒）；

（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况：
①如果CP=CB，那么点P在AC上，CP=6cm，此时t=6÷2=3（秒）；
如果CP=CB，那么点P在AB上，CP=6cm，此时t=5.4（秒）
（点P还可以在AB上，此时，作AB边上的高CD，利用等面积法求得CD=4.8，再利用勾股定理求得DP=3.6，所以BP=7.2，AP=2.8，所以t=（8+2.8）÷2=5.4（秒））
②如果BC=BP，那么点P在AB上，BP=6cm，CA+AP=8+10-6=12（cm），此时t=12÷2=6（秒）；
③如果PB=PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时CA+AP=8+5=13（cm），
t=13÷2=6.5（秒）；
综上可知，当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．