Question

9．如图，在平面直角坐标系中A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），点P为△OAB内任一点，连PO、PA、PB，将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′，连PP′．
（1）求点B′的坐标；
（2）当△OPA与△APB满足什么条件时，PO+PA+PB的值最小，并求出此最小值；
（3）试直接写出（2）中的点P坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的坐标求得AB的长，再根据旋转角度为60°，求得点B′的坐标；
（2）根据两点之间线段最短，求得PO+PA+PB的最小值；
（3）先将（2）中的△OPB绕着点O逆时针旋转60°，求得点B″的坐标，再根据点P为OB′与AB″的交点，联立方程组求得交点P的坐标即可．

解答 解：（1）∵A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1）
∴AB=2，∠BAO=30°
∵将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′
∴AB′=2，∠B′AO=90°
∴B′（$\sqrt{3}$，2）

（2）由旋转可得，△APP′是等边三角形
∴PP′=PA
又∵P′B′=PB
∴PO+PA+PB=PO+PP′+P′B′
∴如图，当O、P、P′、B′四点共线时，PO+PA+PB的值最小
∴当∠OPA=∠APB=∠AP′B′=120°时，PO+PA+PB的值最小
此时，PO+PA+PB=OB′=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$

（3）如图，将（2）中的△OPB绕着点O逆时针旋转60°得到△OB″P″，则∠BOB″=60°，OB″=OB=1
∴点B的坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）
由（2）可知A、P、P″、B″四点共线
∴点P为OB′与AB″的交点
根据A、B″两点的坐标可得直线AB″的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{1}{3}$
根据B′的坐标可得直线OB′的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x
联立方程组，解得P（$\frac{\sqrt{3}}{7}$，$\frac{2}{7}$）

点评 本题主要考查了几何变换中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．在求最小值时，往往需要考虑两点之间线段最短或者垂线段最短等基本结论，在求两直线交点坐标时，需要联立方程组进行求解．