Question

4．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与AC相交于点M，弦MN∥BC，与AB相交于点E，且ME=1，AM=2，AE=$\sqrt{3}$，则弧BN的长为$\frac{2\sqrt{3}}{9}$π．

Answer 1

分析 先根据勾股定理判断出△AME的形状，再由垂径定理得出$\widehat{BN}$=$\widehat{BM}$，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠MOB的度数，求出OM的长，再根据弧长公式即可得出结论．

解答 解：∵△AME中，ME=1，AM=2，AE=$\sqrt{3}$，
∴AE²+ME²=AM²，
∴△AME是直角三角形，即AE⊥MN，
∵sinA=$\frac{ME}{AM}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∴∠MOB=60°，
∴$\frac{ME}{OM}$=sin∠MOB，即$\frac{1}{OM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得OM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵AE⊥MN，
∴$\widehat{BN}$=$\widehat{BM}$，
∴弧BN的长为：$\frac{60π×\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$π．
故答案是$\frac{2\sqrt{3}}{9}$π．

点评 本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．求出∠MOB的度数以及⊙O的半径是解题的关键．