Question

9．课堂上，小明与同学们讨论下面五边形中的问题：如图1，在五边形中ABCDE，AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC，小明发现图1中AE=DE；小亮在图1中连接AD后，得到图3，发现AD=2BC．

请在下面的、两题中任选一题解答．
A：为证明AE=DE，小明延长EA，ED分别交直线BC与点M、点N，如图2．请利用小明所引的辅助线证明AE=DE=
B：请你借助图3证明AD=2BC
我选择A或B题．

Answer 1

分析 （1）如图2中，延长EA、ED分别交直线BC于点M、点N，只要证明△ABM≌△DCN，EM=EN即可解决问题．
（2）如图3中，延长AB、DC交于点P，只要证明△PBC是等边三角形，再根据三角形中位线的性质即可解决问题．

解答 A题：证明：如图2中，延长EA、ED分别交直线BC于点M、点N．

∵∠ABM+∠ABC=180°，∠DCN+∠BCD=180°，∠ABC=∠BCD，
∴∠ABM=∠DCN，
在△ABM和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠DCN}\\{AB=DC}\\{∠BAM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCN，
∴AM=DN，∠M=∠N，
∴EM=EN，
∴EM-AM=EN-DN，
即AE=DE．

B题：证明：如图3中，延长AB、DC交于点P，

∵∠ABC=∠BCD=120°，∠ABC+∠1=180°，∠BCD+∠2=180°，
∴∠1=∠2=60°，
∴∠P=60°，
∴△BCP是等边三角形，
∴PB=PC=BC，∵AB=CD=BC，
∴PB=AB=PC=CD，
∴BC是△PAD的中位线，
∴AD=2BC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．