Question

5．图象的顶点是（-2，$\frac{3}{2}$），且与x轴的两个交点之间的距离为6，求此二次函数的解析式．

Answer 1

分析 用抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-2，根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴两交点坐标为（-5，0）、（1，0），于是可设交点式y=a（x+5）（x-1），然后把顶点坐标代入求出a的值即可．

解答 解：∵二次函数图象的顶点为（-2，$\frac{3}{2}$），
∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∵抛物线与x轴两点之间的距离为6，
∴抛物线与x轴两交点坐标为（-5，0）、（1，0）
设抛物线解析式为y=a（x+5）（x-1）（a≠0）．
把（-2，$\frac{3}{2}$）代入得a•（-2+5）•（-2-1）=$\frac{3}{2}$，解得a=-$\frac{1}{6}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{6}$（x+5）（x-1）=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．