Question

已知△ABC中，有两个内角分别为45°和60°，若一边长为4，求该△ABC的面积．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：分类讨论

分析：需要分类讨论：边长为4的边所对的内角不同．通过作高线AD将△ABC化为两个直角三角形，通过解这2个直角三角形求得BC、AD的长度，然后由三角形的面积公式进行解答．

解答：解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
①当AB=4时．
在Rt△ABD中，AD=BD=AB•sin45°=2

2

．
在Rt△ACD中，CD=AD•cot60°=

2

3

6

．
则BC=BD+CD=2

2

+

2

3

6

．
所以 S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×（2

2

+

2

3

6

）×2

2

=4+

4 3

3

；
②当BC=4时，设AD=x，则BD=AD=x，CD=4-x．
在Rt△ACD中，CD=AD•cot60°，即4-x=

3

3

x，
解得 x=6-2

3

，
故 S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×4×（6-2

3

）=12-4

3

；
③当AC=4时．
在Rt△ACD中，CD=AC•cos60°=4×

1

2

=2，AD=AC•sin60°=4×

3

2

=2

3

．
则BD=AD=2

3

，
则S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×（2

3

+2）×2

3

=6+2

3

．

点评：本题考查了解直角三角形．本题中没有指明4是那一条边的长度，所以需要对该边进行分类讨论，以防漏解．