Question

如图，∠CAB=90°，AC=2，∠B=30°，作AC₁⊥BC，再过点C₁作C₁A₁⊥AB，…求图中所有阴影部分的面积．

Answer 1

考点：勾股定理,含30度角的直角三角形

专题：规律型

分析：用面积法求出AC₁，再根据三角函数求出A₁C₁，A₁C₂，A₃C₃…，AA₁，A₁A₂，A₂A₃…，从而表示出△AA₁C₁的面积，△A₁A₂C₂的面积，△A₁A₂C₂的面积，发现为无穷等比数列，用极限求解即可．

解答：解：∵AC=2，∠B=30°，
∴BC=4，
∴AB=2

3

，
∴BC•AC₁=AC•AB，
∴4AC₁=2×2

3

，
∴AC₁=

3

，
则A₁C₁=

3

cos30°=

3

2

，
A₁C₂=A₁C₁cos30°=

3 3

4

，
同理可得，A₂C₂=

9

8

，
A₂C₃=

9 3

16

，
A₃C₃=

27

32

，
…
AA₁=

3

2

×tan30°=

3

2

，
A₁A₂=

9

8

×tan30°=

3 3

8

，
A₂A₃=

27

32

×tan30°=

9 3

32

，
…
△AA₁C₁的面积为

1

2

AA₁•A₁C₁=

1

2

×

3

2

×

3

2

=

3 3

8

，
△A₁A₂C₂的面积为

1

2

A₁A₂•A₂C₂=

1

2

×

3 3

8

×

9

8

=

27 3

128

，
△A₁A₂C₂的面积为

1

2

A₁A₃•A₃C₃=

1

2

×

9 3

32

×

27

32

=

243 3

2048

，
S_阴影=

3 3

8

+

27 3

128

+

243 3

2048

+…=

lim

n→∞

3 3 8 [1-( 9 16 )n]

1- 9 16

=

6 3

7

．

点评：本题考查了含30°角的直角三角形，涉及三角形的面积、等比数列、极限等知识，重在探究规律．