Question

2．如图，过点C（4，3）的抛物线的顶点为M（2，-1），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，求使△PBC为直角三角形的点P坐标；
（3）若点Q在第一象限内，且tan∠AQB=2，线段DQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线顶点坐标设出抛物线解析式，用待定系数法求出抛物线三角形；
（2）设出点P的坐标，表示出PB²，PC²，BC²，分三种情况用勾股定理计算即可；
（3）根据tan∠AQB=2找出点Q的位置，用DE减去圆的半径即可．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点为M（2，-1），
∴设抛物线解析式为y=a（x-2）²-1，
∵抛物线过点C（4，3），
∴3=a×4-1，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）²-1=x²-4x+3，
∵抛物线交y轴于点D，
∴点D（0，3），
（2）由（1）得，抛物线的解析式为y=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为x=2，
设点P（2，m），
∵抛物线交x轴于A、B两点，
∴A（1，0），B（3，0），
∴PB²=1+m²，PC²=4+（m-3）²，BC²=1²+3²=10，
∵△PBC为直角三角形，
①当∠CPB=90°时，
∴PB²+PC²=BC²，
∴1+m²+（m-3）²=10，
∴m₁=1，m₂=2，
∴P（2，1），或P（2，2），
②当∠PBC=90°时，
∴PB²+BC²=PC²，
∴10+1+m²=4+（m-3）²，
∴m=$\frac{1}{3}$，
∴P（2，$\frac{1}{3}$），
③当∠PCB=90°时，
∴PB²=BC²+PC²，
∴1+m²=4+（m-3）²+10，
∴m=$\frac{11}{3}$，
∴P（2，$\frac{11}{3}$），
∴使△PBC为直角三角形的点P坐标P（2，1）或P（2，2）或P（2，$\frac{1}{3}$）或P（2，$\frac{11}{3}$）；
（3）如图，

由（2）有，A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
过点B作BF⊥AB，截取BF=$\frac{1}{2}$AB=1，
连接AF，
∴根据勾股定理得，AF=$\sqrt{5}$，
以AF为直径作圆，圆心为点E，则点E在抛物线的对称轴上，
∴EG=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$，
∴点E（2，$\frac{1}{2}$），
∵∠AQB=∠AFB，
连接DE，交⊙E于Q，所以此时线段DQ最小，
∵D（0，3），
∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{1}{2}-3）^{2}}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∴DQ=DE-QE=DE-$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{41}-\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，圆周角的性质，解本题的关键是利用勾股定理求点P的坐标，利用圆周角的性质找出点Q的位置是解本题的难点．