Question

3．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=-$\frac{1}{2}$x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点M，N．
（1）求点M，N的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求四边形BMON的面积S；
（4）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出OA=BC=2，将y=2代入y=-$\frac{1}{2}$x+3求出x=2，得出M的坐标，进而将x=4代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得：y=1，求出N点坐标；
（2）把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
（3）利用S_{四边形BMON}=S_矩形OABC-S_△AOM-S_△CON，求出即可；
（4）利用（3）中所求，再求出OP的值，即可求出P的坐标．

解答 解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2，
将y=2代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得：x=2，
∴M（2，2），
将x=4代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得：y=1，
∴N（4，1）；

（2）∵M（2，2），
把M的坐标代入y=$\frac{k}{x}$得：k=4，
∴反比例函数的解析式是y=$\frac{4}{x}$；

（3）由题意可得：S_{四边形BMON}=S_矩形OABC-S_△AOM-S_△CON
=4×2-$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×4×1
=4；

（4）由（3）得，$\frac{1}{2}$OP×AM=4，
∵AM=2，
∴OP=4，
∴点P的坐标是（0，4）或（0，-4）．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，注意分类讨论得出P点坐标是解题关键．