Question

10．如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度．

Answer 1

分析 过点B作BE⊥AC于点E，在直角三角形AEB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，在直角三角形CEB中，利用锐角三角函数定义求出BE与CE的长，由AE+CE求出AC的长，即可求出CD的长．

解答 解：过点B作BE⊥AC于点E，
在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=$\frac{1}{2}$，BE=ABsinA=60×$\frac{1}{2}$=30，cosA=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE=60×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=30$\sqrt{3}$m，
在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD-∠A=75°-30°=45°，
∴BE=CE=30m，
∴AC=AE+CE=（30+30$\sqrt{3}$）m，
在Rt△ADC中，sinA=$\frac{CD}{AC}$，
则CD=（30+30$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=（15+15$\sqrt{3}$）m．

点评 此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．