Question

1．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，若△ABC为直角三角形，则AB=$\frac{5}{3}$或$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 应该分情况讨论，因为不知道在三角形中哪一个是作为斜边存在的．所以有三种情况，即：①若AC为斜边，则1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，无解．
②若AB为斜边，则x²=（3-x）²+1，且满足1＜x＜2．
③若BC为斜边，则（3-x）²=1+x²，且满足1＜x＜2．

解答 解：∵在△ABC中，AC=1，设AB=x，BC=3-x．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞3-x}\\{1+3-x＞x}\end{array}\right.$，
解得1＜x＜2；
①若AC为斜边，则1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，无解，
②若AB为斜边，则x²=（3-x）²+1，解得x=$\frac{5}{3}$，满足1＜x＜2，
③若BC为斜边，则（3-x）²=1+x²，解得x=$\frac{4}{3}$，满足1＜x＜2，
∴x=$\frac{5}{3}$或x=$\frac{4}{3}$；
故答案是：$\frac{5}{3}$或$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质．解此题的关键是进行全方面分析，注意一题多解．难易程度适中．