Question

19．（1）如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AD⊥l于点D，作BE⊥l于点E．求证：DE=AD+BE．
（2）如图2，已知Rt△ABC，∠C=90°．
①用尺规作图法作出△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
②若AB=10，CD=3，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ACD≌△CBE即可解决问题；
（2）①利用尺规作△ABC的角平分线即可；
②过点D作DE⊥AB于E．由DC⊥AC，DE⊥AB推出DE=DC=3，根据S_△ABD=$\frac{1}{2}$•AB•DE计算即可；

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥l
∴∠ACD+∠CAD=90°
∴∠CAD=∠BCE．
∵BE⊥l，AD⊥l
∴∠ADC=∠BEC=90°
∵在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BCE\\;}\\{∠ADC=∠BEC=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBE．
∴AD=CE，CD=BE．
∵DE=CD+CE
∴DE=AD+BE．

（2）①△ABC的角平分线AD如图所示．

②解：过点D作DE⊥AB于E．
∵DC⊥AC，DE⊥AB
∴DE=DC=3，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•AB•DE=$\frac{1}{2}$×10×3=15．

点评 本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．