Question

11．如图，已知点A（1，2）是函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象的点，连结OA，作OA⊥0B，与图象y=$\frac{-6}{x}$（x＞0）交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求OA：0B的值；
（3）若点A在双曲线上移动，保持OA⊥0B不变，OA：OB的值变吗？

Answer 1

分析 （1）过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，利用垂直的定义可得出一对直角相等，再由OA与OB垂直，利用平角的定义得到一对角互余，在直角三角形AOC中，两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AOC与三角形OBD相似，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，利用面积比等于相似比的平方求出相似比，即$\frac{OC}{BD}=\frac{AC}{OD}$的比值，可得BD、OD，易得点B的坐标；
（2）由（1）利用面积比等于相似比的平方求出相似比，即$\frac{OC}{BD}=\frac{AC}{OD}$=$\frac{OA}{OB}$；
（3）因为S_△AOC、S_△BOD不变，利用利用面积比等于相似比的平方求出相似比，可得结论．

解答 解：（1）过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0），y=-$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象上，
∴S_△AOC=1，S_△OBD=3，
∴S_△AOC：S_△OBD=1：3，
$\frac{OC}{BD}=\frac{AC}{OD}=\sqrt{\frac{{S}_{△ACO}}{{S}_{ODB}}}=\sqrt{\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{2}{BD}=\frac{1}{OD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$BD=2\sqrt{3}$，OD=$\sqrt{3}$，
∴B（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）；

（2）OA：OB=OC：BD=$\sqrt{3}$：3；

（3）不变．
∵点A在y=$\frac{2}{x}$上运动时，S_△AOC=1，S_△BOD=3，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的性质及判定，利用面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．