Question

8．如图，抛物线y=-x²+2mx（m＞1）交x轴于点O，A，顶点为M，以OA为边向上方作正方形OABC，直线CM交x轴于点P，交直线AB于点Q，连接OQ交直线BC于点D，
（1）当点M在BC的上方时，线段BC交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧），
        ①若EF=CE+BF，求m的值；
        ②若CP=OQ，求证：△OCD≌△CBQ；
（2）记点A关于OQ的对称点为A′，是否存在m，使得A'落在抛物线的对称轴上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①用m的代数式表示点E的坐标，利用待定系数法即可角问题；
②首先证明Rt△PCO≌Rt△QOA，推出∠CPO=∠OQA，由OC∥AQ，BC∥AP，推出∠COD=∠AQO，∠CPO=∠QCB，推出∠QCB=∠COD，由此即可证明；
（2）存在．如图1中，连接A′Q，作A′N⊥AB于N．首先证明△OAA′是等边三角形，再求出直线CM的解析式，可得点Q坐标，想办法列出方程即可解决问题；

解答 （1）①解：由题意A（2m，0），C（0，2m），B（2m，2m），
由对称性可知CE=BF，
∵EF=CE+BF，
∴CE=$\frac{1}{4}$BC，
∴E（$\frac{1}{2}$m，2m），把E点坐标代入y=-x²+2mx得到2m=-$\frac{1}{4}$m²+m²，解得m=$\frac{8}{3}$或0（舍弃）
∴m=$\frac{8}{3}$．

②证明：如图，

在Rt△PCO和Rt△QOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=OQ}\\{OC=OA}\end{array}\right.$，
∴Rt△PCO≌Rt△QOA，
∴∠CPO=∠OQA，
∵OC∥AQ，BC∥AP，
∴∠COD=∠AQO，∠CPO=∠QCB，
∴∠QCB=∠COD，
在△OCD和△CBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COD=∠QCB}\\{OC=BC}\\{∠OCD=∠CBQ}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△CBQ；

（2）存在．理由如下：
如图1中，连接A′Q，作A′N⊥AB于N．

由题意OA=OA′=AA′，
∴△OAA′是等边三角形，
∴∠AOQ=∠QOA′=30°，
∴∠A′QN=∠A′QO=∠AQO=60°，
∵C（0，2m），M（m，m²），
∴直线CM的解析式为y=（m-2）x+2m，
令x=2m，得到y=2m²-2m，
∴Q（2m，2m²--2m），
在Rt△A′QN中，A′N=A′Q•cos30°，
∴（2m²-2m）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=m，
∴m=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$或0（舍弃），
∴满足条件的m的值为$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、正方形的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，最后一个问题的突破点是发现等边三角形解决问题，学会构建方程，用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．